高等代數(shù)考試大綱

Ⅰ 考查目標(biāo)

高等代數(shù)課程是一門基礎(chǔ)理論課.近年來，由于自然科學(xué)，社會科學(xué)和工程技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是由于電子計(jì)算機(jī)的普遍應(yīng)用，使得代數(shù)學(xué)得到日益廣泛的應(yīng)用.這就要求數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生不僅了解代數(shù)學(xué)的一些計(jì)算問題，還應(yīng)具備代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論知識，以便融會貫通的運(yùn)用代數(shù)學(xué)的工具去解決理論上和實(shí)踐上遇到的各種問題.

本課程包括一元多項(xiàng)式理論，線性代數(shù)，其中以線性代數(shù)為主，具有很強(qiáng)的抽象性與邏輯性.本課程的考查注重學(xué)生科學(xué)的思維方式，分析問題和解決問題的能力;同時滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和的思想.通過本課程的考查，能體現(xiàn)“學(xué)生掌握多項(xiàng)式理論的基本概念，線性方程組的基本理論，矩陣的基本運(yùn)算和技巧，線性空間與歐幾里得空間的基本性質(zhì)，線性變換的基本概念和方法”的基本情況.考查學(xué)生的抽象思維能力，解決實(shí)際問題的方法，從而為學(xué)生的研究生階段的學(xué)習(xí)打下必要的代數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

難度以應(yīng)屆本科優(yōu)秀學(xué)生能取得及格以上成績?yōu)榛鶞?zhǔn).

Ⅱ　考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

1填空題約占30%

2計(jì)算題約占40%

3證明題約占30%.可以根據(jù)需要將證明題分為基本證明題和綜合證明題兩大部分.

4、試卷總分150分.

Ⅲ　考查范圍

第一部分 多項(xiàng)式

一 多項(xiàng)式代數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)

二 最大公因式和互質(zhì)(與數(shù)域擴(kuò)充無關(guān)的性質(zhì))

三 因式分解(與數(shù)域擴(kuò)充有關(guān)的性質(zhì))及應(yīng)用

第二部分 行列式

一 行列式的定義、性質(zhì)及應(yīng)用

二 行列式的計(jì)算

第三部分 矩陣初步

一 矩陣代數(shù)

二 矩陣的初等變換及應(yīng)用

三 方塊矩陣的初等變換及應(yīng)用

第四部分 線性空間

一 線性空間的定義

二 向量的線性關(guān)系

三 子空間與空間直和分解

第五部分 線性變換

一 線性映射

二 線性變換

三 同構(gòu)對應(yīng)及應(yīng)用

第六部分 線性方程組

一 齊次線性方程組解的存在性、唯一性與表示

二 非齊次線性方程組解的存在性、唯一性與表示

三 線性方程組的反問題和矩陣方程

第七部分 矩陣的秩

一 矩陣的秩的等價(jià)刻劃

二 關(guān)于矩陣秩的命題及應(yīng)用

第八部分 線性空間同構(gòu)

一 線性空間的同構(gòu)

二 三種重要的同構(gòu)

三 命題的互相轉(zhuǎn)化及應(yīng)用

第九部分 特征值與特征向量

一 矩陣的特征值與特征向量 特征多項(xiàng)式 最小多項(xiàng)式

二 線性變換的特征值與特征向量 特征多項(xiàng)式 最小多項(xiàng)式

三 可對角化的矩陣(線性變換)

第十部分 空間分解定理和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

一 空間分解定理

二 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

三 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法

四 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形應(yīng)用舉例

第十一部分 歐氏空間

一 歐氏空間的正交向量

二 歐氏空間的子空間的正交補(bǔ)

三 n維歐氏空間的線性變換

第十二部分 二次型

一 二次型(對稱陣)的標(biāo)準(zhǔn)形

二 正定二次型(對稱陣)與二次型(對稱陣)的正定性

第十三部分 等價(jià)關(guān)系與矩陣標(biāo)準(zhǔn)型

一 等價(jià)關(guān)系與分類

二 矩陣中的幾種等價(jià)關(guān)系與矩陣標(biāo)準(zhǔn)型

Ⅳ 參考書

(1)張禾瑞、郝炳新編.高等代數(shù)(第五版).高等教育出版社，2008年.

(2)北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 高等代數(shù)(第3版).高等教育出版社，1988年.

(3)邱維聲編.高等代數(shù).高等教育出版社，2002年.