云南省專升本數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》考試考核目標(biāo)
考生應(yīng)理解和掌握《數(shù)學(xué)分析》中函數(shù)、極限、連續(xù)、微分學(xué)、積分學(xué)和級(jí)數(shù)的基本概念、基本理論、基本方法。應(yīng)具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和空間想象能力,能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)正確拙推理證明,準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷地計(jì)算。能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的基本理論、基本方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題。
云南省專升本數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》考試內(nèi)容
一、函數(shù)、極限與連續(xù)
(一)函數(shù)
1.知識(shí)范圍
函數(shù)的概念,函數(shù)的表示法與四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù),反函數(shù),五類基本初等函數(shù),初等函數(shù),有界函數(shù),單調(diào)函數(shù),奇函數(shù)與偶函數(shù),周期函數(shù)。
2.考核目標(biāo)
(1)正確理解和掌握函數(shù)的概念,熟練地求函數(shù)的定義域和一些函數(shù)的值域。
(2)理解和掌握有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、偶函數(shù)、奇函數(shù)與周期函數(shù)概念,并會(huì)用定義判斷函數(shù)的類別。
(3)理解函數(shù)的四則運(yùn)算與反函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算。
(4)掌握五類基本初等函數(shù)的定義與主要性質(zhì)。
(二)極限
1.知識(shí)范圍
數(shù)列極限的定義,數(shù)列極限的唯一性、有界性、保號(hào)性、保序性,兩邊夾定理,四則運(yùn)算定理,單調(diào)有界定理。
函數(shù)極限的定義,左、右極限及其與極限的關(guān)系,當(dāng)X→∞(X→+∞,X→-∞)時(shí)函數(shù)極限的定義,函數(shù)極限的唯一性,局部有界性,局部保號(hào)性,局部保序性,四則運(yùn)算定理,兩邊夾定理,海涅定理。兩個(gè)重要極限: 。
無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義及其他們的關(guān)系、性質(zhì)及無(wú)窮小量階的比較。
2.考核目標(biāo)
(1)理解和掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念,會(huì)用定義證明極限中一些有關(guān)問(wèn)題。
(2)熟練地應(yīng)用極限的唯一性、有界(局部有界)性、保號(hào)(局部)性、保序(局部)性證明有關(guān)問(wèn)題。
(3)應(yīng)用四則運(yùn)算定理、兩邊夾定理、單調(diào)有界定理和兩個(gè)重要極限,熟練地求極限。
(4)理解無(wú)窮小與無(wú)窮大概念。
(三)連續(xù)
1.知識(shí)范圍
函數(shù)在一點(diǎn)左連續(xù)、右連續(xù)與連續(xù)的概念,在區(qū)間上連續(xù),函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類。
函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的性質(zhì):局部有界性,局部保號(hào)性,四則運(yùn)算法則,復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的連續(xù)性。初等函數(shù)的連續(xù)性。
函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的性質(zhì):介值定理,零點(diǎn)定理,最值定理,一致連續(xù)性定理。
2.考核目標(biāo)
(1)理解和掌握函數(shù)連續(xù)的概念,函數(shù)一致連續(xù)的概念。
(2)理解和掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性,并能應(yīng)用它證明有關(guān)問(wèn)題。知道間斷點(diǎn)的分類。
(3)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(不包括它們的證法),能用這些性質(zhì)證明有關(guān)問(wèn)題。
(4)知道初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)。
二、一元函數(shù)微分學(xué)
(一)導(dǎo)數(shù)與微分
1.知識(shí)范圍
導(dǎo)數(shù)的定義,左、右導(dǎo)數(shù)的定義,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 .
求導(dǎo)的運(yùn)算法則:包括四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)法,以及分段函數(shù)求導(dǎo)法。
微分的定義,微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,微分法則,一階微分形式不變性。
高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算。
導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用。
2.考核目標(biāo)
(1)掌握導(dǎo)數(shù)、微分的定義及幾何意義,了解它們的差異。
(2)牢記導(dǎo)數(shù)公式,會(huì)用四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法熟練地求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
(3)會(huì)求一些函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
(4)熟練地計(jì)算函數(shù)的微分。
(二)微分中值定理和泰勒公式
1.知識(shí)范圍
費(fèi)爾馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式。
2.考核目標(biāo)
(1)掌握費(fèi)爾馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理的條件、結(jié)論和證明方法,會(huì)用拉格朗日定理證明一些恒等式與不等式。
(2)記住的馬克勞林公式,會(huì)用它們求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的展開(kāi)式。
(三)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.知識(shí)范圍
羅必達(dá)法則,函數(shù)的單調(diào)性及其判定,應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式,函數(shù)的極值及其判定,最值的求法,函數(shù)的凹凸性及其判定,拐點(diǎn),漸近線,函數(shù)作圖。
2.考核目標(biāo)
(1)熟練地應(yīng)用羅必達(dá)法求待定型的極限,特別是型。
(2)掌握用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的方法。
(3)掌握用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法。
三、一元函數(shù)積分學(xué)
(一)不定積分
1.知識(shí)范圍
原函數(shù)與不定積分的概念,不定積分的運(yùn)算法則,基本積分公式表。
不定積分的第一換元法、第二換元法、分部積分法。一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分。簡(jiǎn)單元理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分。
2.考核目標(biāo)
(1)掌握原函數(shù)與不定積分的概念。
(2)牢記不定積分公式表,熟練地用換元法和分部積分法求不定積分。
(3)會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù),簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分。
(二)定積分
1.知識(shí)范圍
定積分的概念,可積的必要條件,三類可積函數(shù)。定積分的性質(zhì):包括線性線,有限可加性,單調(diào)性和積分第一中值定理。定積分的計(jì)算,可變上限積分,牛頓一萊布尼茲公式,換元積分法,分部積分法。
2.考核目標(biāo)
(1)理解定積分概念,記住三類可積函數(shù)。
(2)掌握定積分的性質(zhì)和微積分基本定理,熟練地應(yīng)用牛頓一萊布尼茲公式計(jì)算定積分。
(3)熟練地用定積分換元積分法和分部積分法求定積分。
(三)定積分在幾何上的應(yīng)用
1.知識(shí)范圍
平面區(qū)域的面積,平面曲線的弧長(zhǎng),利用截面面積計(jì)算立體的體積,旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積。
2.考核目標(biāo)
會(huì)用定積分求平面區(qū)域的面積,平面曲線的弧長(zhǎng),旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積。
(四)廣義積分
1.知識(shí)范圍
無(wú)窮區(qū)間上廣義積分收斂、發(fā)散的概念、絕對(duì)收斂與條件收斂的概念,收斂性判別法。
2.考核目標(biāo)
(1)掌握無(wú)窮積分收斂與發(fā)散的概念,掌握無(wú)窮積分絕對(duì)斂與條件收斂的概念。
(2)會(huì)用收斂的定義和收斂性判別法判別一些無(wú)窮積分的散性。
四、級(jí)數(shù)
(一)數(shù)值級(jí)數(shù)
1.知識(shí)范圍
數(shù)值級(jí)數(shù)的部分和,收斂與發(fā)散,和與余和的概念,收斂級(jí)的性質(zhì),收斂的必要條件,柯西準(zhǔn)則。
正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法,達(dá)朗貝爾判別法,柯西判別法。
任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂、條件收斂概念,交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散的萊布尼茲判別法。
2.考核目標(biāo)
(1)掌握級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念,絕對(duì)收斂與條件收斂的念。
(2)牢記級(jí)數(shù)的斂散性,熟練地應(yīng)用比較判另法、達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性。
(3)熟練地用萊布尼茲判別法判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性。
(二)冪級(jí)數(shù)
1.知識(shí)范圍
冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域。冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性,可微性與可積性。
函數(shù)的泰勒展開(kāi),函數(shù)的馬克勞林展開(kāi)式。
2.考核目標(biāo)
(1)會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域和函數(shù)。
(2)記住五個(gè)函數(shù)的馬克勞林展開(kāi)式,并能應(yīng)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。
五、多元函數(shù)微分學(xué)
(一)多元函數(shù)微分學(xué)
1.知識(shí)范圍
多元函數(shù)的概念,二元函數(shù)的定義域,二元函數(shù)的重極限與累次極限,二元函數(shù)連續(xù)的概念,有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性和一致連續(xù)性。
多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、二階偏導(dǎo)數(shù)、全微分,復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與二階偏導(dǎo)數(shù)。
2.考核目標(biāo)
(1)理解二元函數(shù)重極限和累次極限的定義,會(huì)求二元函數(shù)的重極限與累次極限。
(2)理解二元函數(shù)連續(xù)的定義與有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
(3)熟練地求偏導(dǎo)數(shù)、全微分和高階偏導(dǎo)數(shù),包括復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。
(二)二重積分
1.知識(shí)范圍
二重積分的概念,二重積分的性質(zhì),二重積分的計(jì)算,包括化重積分為累次積分,用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分。應(yīng)用二重積分計(jì)算空間形體的體積、平面圖形的面積。
2.考核目標(biāo)
(1)理解二重積分的概念,了解二重積分的性質(zhì)。
(2)熟練地計(jì)算二重積分,包括用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分。
(3)會(huì)用二重積分計(jì)算一些簡(jiǎn)單空間形體的體積和平面圖形的面積。
(三)曲線積分
1知識(shí)范圍
第一、二型曲線積分的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法,格林公式,平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。
2.考核目標(biāo)
(1)熟練地計(jì)算第一、二型曲線積分。
(2)會(huì)用格林公式計(jì)算第二型曲線積分。知道曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。會(huì)求P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函數(shù)。